2022 年 7 月 4 日更新

由于本文没有什么深度，请慎读。

起因

数学试卷上压轴选择题让我开始思考这个问题。

引入

1919 是一个十进制数，用算式表示是 $1*10^3 + 9*10^2 + 1*10^1 + 9*10^0 = 1919$。

4 的二进制是 100，用算式表示是 $1*2^2 + 0*2^1 + 0*2^0 = 4$。

问题

  • 为何十进数 1919 千位上的 1 要乘 $10^3$？
  • 为何二进数 100 右往左数的第三位要乘 $2^2$？
  • …

探究

进制是进位制的简称。定义为一个进位制的底数（base，radix）为 n，称之为 n 进制。

n 进制表示的最大数为 n - 1，因为 n 进制表示的最小数一定为 0。

当 n 进制的第 k 位要表示为 n 时，需给第 k + 1 位加 1，第 k 位将清零。

结论

有以上探究后，可得知十进数 1919 千位上的 1 要乘 $10^3$ 的原因是将 1 后三位（百、十、个位）填充满，都变为 0，使计算出的最高为 1。

因为是乘法，个位给十位加的 1 也会变成 0（10*10，1 被替换为 0，给百位加 1）。

完成 :)